Définition :
Soit \(E\) un \({\Bbb K}\)-espace vectoriel de dimension \(n\)
Une base \((e_1,\ldots,e_n)\) de \(E\) est dite orthogonale par rapport à la forme bilinéaire symétrique \(\sigma:E\times E\to{\Bbb K}\) si $$\sigma(e_i,e_j)=0\quad\text{ si }i\ne j$$
(//Orthogonalité - Vecteurs orthogonaux)
Propriétés
Matrice dans la base orthogonale
Proposition :
Si \(\{e_i\}^n_{i=1}\) est une base orthogonale, alors la matrice de \(\sigma\) dans cette base est : $$A=\begin{pmatrix} Q(e_1)&&&&0\\ &Q(e_2)\\ &&&\ddots\\ 0&&&&Q(e_n)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sigma(e_1,e_1)&&&&0\\ &\sigma(e_2,e_2)\\ &&&\ddots\\ 0&&&&\sigma(e_n,e_n)\end{pmatrix}$$
(Forme quadratique)
Il existe une base orthogonale pour toute forme bilinéaire symétrique
Théorème :
Pour toute forme bilinéaire symétrique \(\sigma:E\times E\to{\Bbb K},\) avec \(E\) de dimension finie, il existe une base orthogonale (ou orthonormée)
(Forme bilinéaire, Fonction symétrique)
Algorithmes pour trouver une base orthogonale pour une forme quadratique